Можно ли каким-то образом выяснить кому муж ставит лайки в Инстаграм?

можно посмотреть лайки, сделанные пользователем с помощью сервиса Snoopreport. Он поможет узнавать обо всех действиях пользователя в Instagram: его лайках, комментариях и подписках. http://snoopreport.com/ru

мне кажется нельзя выяснить, если только страницу не взломать

Так сейчас же сервисов полно всяких, благодаря которым можно отслеживать действия того или иного человека в инсте. Я, например, этим http://zengram.ru/instashpion в основном пользуюсь, так как он самый удобный. Интерфейс понятный, вы быстро разберетесь что и как.

А историю в браузере он чистит? Если нет, то зайдите через неё в инстаграм, отследите кого он там лайкает.

Выведайте у него пароль от инсты, войдите и посмотрите. Иначе вряд ли получится узнать